Condição suficiente para a existência de um grupo finito gerado por dois elementos satisfazendo as relações aⁿ = e, bᵐ = aᵘ e b a = aˢ b
| dc.contributor.advisor | Jesus, Luís Roque Rodrigues de | |
| dc.contributor.author | Reis Filho, Vilemar Fragas dos | |
| dc.contributor.referee | Ferreira, Maridete Brito Cunha | |
| dc.contributor.referee | Mendonça, Glaene Santos Santiago | |
| dc.date.accessioned | 2026-03-03T15:56:45Z | |
| dc.date.available | 2026-03-03T15:56:45Z | |
| dc.date.issued | 2025-12-16 | |
| dc.description.abstract | Este trabalho apresenta uma demonstração construtiva e didática para a existência de grupos finitos da forma G = ⟨a, b⟩ definidos pelas relações aⁿ = e, bᵐ = aᵘ e b a = aˢ b. O objetivo principal é provar a suficiência das condições de congruências sᵐ ≡ 1 (mod n) e u(s − 1) ≡ 0 (mod n), as quais, como se sabe, são também necessárias para a existência de tais grupos (os quais são únicos, a menos de isomorfismos). A abordagem inicia-se com uma motivação detalhada que torna explícitas as ideias que conduzem naturalmente à escolha do grupo candidato e da sua operação binária. Em seguida, a construção é realizada explicitamente sobre um conjunto de pares ordenados, utilizando apenas ferramentas elementares da Teoria de Grupos e Teoria dos números, aritmética modular, indução e propriedades elementares de homomorfismos. Como consequência, obtém-se a garantia da existência dos grupos dos quatérnions generalizados Qn e dos grupos diedrais Dn, além da classificação completa dos grupos de ordem 2p, com p primo ímpar. Como desdobramento natural, aponta-se para a possibilidade de estender o método construtivo aqui desenvolvido ao caso de grupos gerados por três elementos, conforme sugerido, mas não demonstrado, na literatura consultada. O trabalho destaca-se, portanto, por oferecer uma prova completa, pedagogicamente orientada e motivada desde as escolhas construtivas iniciais, preenchendo uma lacuna expositiva na literatura. | |
| dc.description.abstract2 | This work presents a constructive and didactic proof for the existence of finite groups of the form G = ⟨a, b⟩ defined by the relations aⁿ = e, bᵐ = aᵘ e b a = aˢ b. The main objective is to prove the sufficiency of the congruence conditions sᵐ ≡ 1 (mod n) and u(s − 1) ≡ 0 (mod n), which, as is known, are also necessary for the existence of such groups (and which are unique up to isomorphism). The approach begins with a detailed motivation that makes explicit the ideas that naturally lead to the choice of the candidate group and its binary operation. Subsequently, the construction is explicitly carried out on a set of ordered pairs, using only elementary tools from Group Theory and Number Theory, modular arithmetic, induction, and basic properties of homomorphisms. As a consequence, the existence of the generalized quaternion groups Qn and the dihedral groups Dn is guaranteed, in addition to the complete classification of groups of order 2p, where p is an odd prime. As a natural continuation, the possibility of extending the constructive method developed here to the case of groups generated by three elements is pointed out, as suggested but not demonstrated in the consulted literature. This work thus stands out for offering a complete, pedagogically oriented, and motivationally grounded proof from the initial constructive choices, filling an expository gap in the literature. | |
| dc.format.mimetype | application/pdf | |
| dc.identifier.citation | REIS FILHO, Vilemar Fragas dos. Condição suficiente para a existência de um grupo finito gerado por dois elementos satisfazendo as relações aⁿ = e, bᵐ = aᵘ e b a = aˢ b. Orientador: Luís Roque Rodrigues de Jesus. 2025. 71 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Departamento de Ciências Exatas e da Terra, Universidade do Estado da Bahia, Alagoinhas, 2025. | |
| dc.identifier.uri | https://saberaberto.uneb.br/handle/20.500.11896/10972 | |
| dc.identifier2.Lattes | https://lattes.cnpq.br/4777154293061880 | |
| dc.identifier2.ORCID | 0009-0003-4785-6877 | |
| dc.language.iso | por | |
| dc.publisher | Universidade do Estado da Bahia | |
| dc.publisher.program | Colegiado de Matemática | |
| dc.rights | info:eu-repo/semantics/openAccess | |
| dc.rights.uri | http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/br/ | |
| dc.rights2 | Attribution 3.0 Brazil | en |
| dc.subject.keywords | Grupos finitamente gerados | |
| dc.subject.keywords | Subgrupo gerado | |
| dc.subject.keywords | Condição suficiente | |
| dc.subject.keywords | Teorema de Existência | |
| dc.subject.keywords | Demonstração Motivada. | |
| dc.title | Condição suficiente para a existência de um grupo finito gerado por dois elementos satisfazendo as relações aⁿ = e, bᵐ = aᵘ e b a = aˢ b | |
| dc.title.alternative | Sufficient condition for the existence of a finite group generated by two elements satisfying the relations aⁿ = e, bᵐ = aᵘ and b a = aˢ b | |
| dc.type | info:eu-repo/semantics/bachelorThesis |