Navegando por Autor "Reis Filho, Vilemar Fragas dos"

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    Condição suficiente para a existência de um grupo finito gerado por dois elementos satisfazendo as relações aⁿ = e, bᵐ = aᵘ e b a = aˢ b
    (Universidade do Estado da Bahia, 2025-12-16) Reis Filho, Vilemar Fragas dos; Jesus, Luís Roque Rodrigues de; Ferreira, Maridete Brito Cunha; Mendonça, Glaene Santos Santiago
    Este trabalho apresenta uma demonstração construtiva e didática para a existência de grupos finitos da forma G = ⟨a, b⟩ definidos pelas relações aⁿ = e, bᵐ = aᵘ e b a = aˢ b. O objetivo principal é provar a suficiência das condições de congruências sᵐ ≡ 1 (mod n) e u(s − 1) ≡ 0 (mod n), as quais, como se sabe, são também necessárias para a existência de tais grupos (os quais são únicos, a menos de isomorfismos). A abordagem inicia-se com uma motivação detalhada que torna explícitas as ideias que conduzem naturalmente à escolha do grupo candidato e da sua operação binária. Em seguida, a construção é realizada explicitamente sobre um conjunto de pares ordenados, utilizando apenas ferramentas elementares da Teoria de Grupos e Teoria dos números, aritmética modular, indução e propriedades elementares de homomorfismos. Como consequência, obtém-se a garantia da existência dos grupos dos quatérnions generalizados Qn e dos grupos diedrais Dn, além da classificação completa dos grupos de ordem 2p, com p primo ímpar. Como desdobramento natural, aponta-se para a possibilidade de estender o método construtivo aqui desenvolvido ao caso de grupos gerados por três elementos, conforme sugerido, mas não demonstrado, na literatura consultada. O trabalho destaca-se, portanto, por oferecer uma prova completa, pedagogicamente orientada e motivada desde as escolhas construtivas iniciais, preenchendo uma lacuna expositiva na literatura.